9の倍数の和かどうかの判別法をmimetex使って説明してみる

なんとなく、mimetextってのを使ってみたかったから使ってみる。

なんかを読みながら打つと色々と面倒くさそうなので、
私が覚えているままに書くから誤ってたり、定義不十分だったりするかもしんね。

さて、まずは合同を定義しよう。

二つの整数 $a, b$ を自然数 $n$ で割った余りがが等しいとき、 $a, b$ は $n$ を法として合同であるといい、 $a \equiv b \pmod{n}$ と表す。

としよう。

また、合同は同時に次の3つ、反射律、対称律、推移律を充たす。

$a \equiv a \pmod{n}$
$a \equiv b \pmod{n} \Rightarrow b \equiv a \pmod{n}$
$a \equiv b \pmod{n} , b \equiv c \pmod{n} \Rightarrow a \equiv c \pmod{n}$

また合同式は、同一の法を有するものに限れば加減乗法は通常の等式のように取り扱える。

以上を満たした上で次の問題を考えてみよう。

問題
10進表示された数Aの各桁の数を足したものが9の倍数ならば、Aは9で割り切れる。

なにが言いたいかって言うと、たとえばabcdefという数があったとして、
このときa+b+c+d+e+f=9k(k $\in \mathbb{N}$ )みたいにかけるのならば、
abcdefは9の倍数だっていうことだ。

さて、これを合同式をつかって証明してみよう。
9を法とすると、1と10は合同である、両方とも9で割って余り1なので。
よって、次のようにかける。

$10 \equiv 1 \pmod{9}$ ……☆

合同式では乗法が定義できているから、
☆をn倍すれば次の式が成り立つ。

$10^n \equiv 1 \pmod{9}$

よって、示せた!!
って感じで、今日読んだ参考書にはこの辺で終わってた気がする。
もうちょっと補足説明すると、例えば1233って4桁の数字は4つの合同式、

$1 \times 10^3 \equiv 1 \times 1 \pmod{9}$
$2 \times 10^2 \equiv 2 \times 1 \pmod{9}$
$3 \times 10^1 \equiv 3 \times 1 \pmod{9}$
$3 \times 1 \equiv 3\times 1 \pmod{9}$